反函式的定義是什麼

學好數學要依靠理解，“數學理解”應受到數學教育界的普遍關注。“反函式”是函式知識的重要組成部分，也是函式教學中的重點和難點，反函式的定義是什麼?以下是本站小編為大家整理的關於反函式的定義，歡迎大家前來閱讀!

反函式的概念

所謂反函式就是將原函式中自變數與變數調換位置，用原函式的變量表示自變數而形成的函式。存在反函式的條件是原函式必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。

函式的定義

一般地，如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應，y=f(x)。則y=f(x)的反函式為y=f^-1(x)。

存在反函式的條件是原函式必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)

【反函式的性質】

(1)互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y=x對稱;

(2)函式存在反函式的充要條件是，函式的定義域與值域是一一對映;

(3)一個函式與它的反函式在相應區間上單調性一致;

(4)一般的偶函式一定不存在反函式(但一種特殊的偶函式存在反函式,例f(x)=a(x=0)它的反函式是f(x)=0(x=a)這是一種極特殊的函式)，奇函式不一定存在反函式。若一個奇函式存在反函式，則它的反函式也是奇函式。

(5)一切隱函式具有反函式;

(6)一段連續的函式的單調性在對應區間內具有一致性;

(7)嚴格增(減)的函式一定有嚴格增(減)的反函式【反函式存在定理】。

(8)反函式是相互的

(9)定義域、值域相反對應法則互逆(三反)

(10)原函式一旦確定，反函式即確定(三定)

例：y=2x-1的反函式是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函式是y=log2 x

例題：求函式3x-2的反函式

解：y=3x-2的定義域為R，值域為R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

將x,y互換,則所求y=3x-2的反函式是

y=1/3(x+2)

反函式的基本性質

一般地，設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x= (y). 若對於y在C中的任何一個值，通過x= (y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那麼，x= (y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x= (y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，記作x=f^-1(y). 反函式y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域.

說明：⑴在函式x=f^-1(y)中，y是自變數，x是函式，但習慣上，我們一般用x表示自變數，用y 表示函式，為此我們常常對調函式x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今後凡無特別說明，函式y=f(x)的反函式都採用這種經過改寫的形式.

⑵反函式也是函式，因為它符合函式的定義. 從反函式的定義可知，對於任意一個函式y=f(x)來說，不一定有反函式，若函式y=f(x)有反函式y=f^-1(x)，那麼函式y=f^-1(x)的反函式就是y=f(x)，這就是說，函式y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函式.

⑶從對映的定義可知，函式y=f(x)是定義域A到值域C的對映，而它的反函式y=f^-1(x)是集合C到集合A的對映，因此，函式y=f(x)的定義域正好是它的反函式y=f^-1(x)的值域;函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f^-1(x)的定義域(如下表)：

函式y=f(x)

反函式y=f^-1(x)

定義域

A C

值 域

C A

⑷上述定義用“逆”對映概念可敘述為：

若確定函式y=f(x)的對映f是函式的定義域到值域“上”的“一一對映”，那麼由f的“逆”對映f^-1所確定的函式x=f^-1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域.

開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函式就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函式為：f^-1(x)=x/2-3.

有時是反函式需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要注意的。一般分數函式的反函式的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a

反函式的應用介紹

直接求原函式的值域困難時，可以通過求其反函式的定義域來確定原函式的值域，求反函式的步驟是這樣的：

1、先求出反函式的定義域，因為原函式的值域就是反函式的定義域;

(我們知道函式的三要素是定義域、值域、對應法則，所以先求反函式的定義域是求反函式的第一步)

2、反解x，也就是用y來表示x;

3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x;

4、寫出原函式及其值域。

例項：y=2x+1(值域：任意實數) 　　x=(y-1)/2 　　y=(x-1)/2(x取任意實數)

特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函式，它的反函式都是它本身。

反函式求解三步驟： 　　1、換：X、Y換位 　　2、解：解出Y 　　3、標：標出定義域

反函式的使用符號

符號

arc

用法

例：三角函式中

正弦函式和它的反函式：f(x)=sinx->x=arcsinx

餘弦函式和它的反函式：f(x)=cosx->x=arccosx

正切函式和它的反函式：f(x)=tanx ->x=arctanx

餘切函式和它的反函式：f(x)=cotx->x=arccotx

註解

反正弦的意義 ，則符合條件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，記作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反餘弦的意義 x∈[0，π]，則符合條件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反餘弦，記作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意義 ，則符合條件tanx=a的角x叫做a的反正切，記作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一個角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符號表示[0，2π]中角的一般規律

反函式的相關說明

⑴在函式x=f^(-1)(y)中，y是自變數，x是函式，但習慣上，我們一般用x表示自變數，用y 表示函式，為此我們常常對調函式x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^(-1)(x)，今後凡無特別說明，函式y=f(x)的反函式都採用這種經過改寫的形式。

⑵反函式也是函式，因為它符合函式的定義. 從反函式的定義可知，對於任意一個函式y=f(x)來說，不一定有反函式，若函式y=f(x)有反函式y=f^(-1)(x)，那麼函式y=f’(x)的反函式就是y=f^(-1)(x)，這就是說，函式y=f(x)與y=f^(-1)(x)互為反函式。

⑶互為反函式的兩個函式在各自定義域內有相同的單調性。單調函式才有反函式，如二次函式在R內不是反函式，但在其單調增(減)的定義域內，可以求反函式。

⑷ 從對映的定義可知，函式y=f(x)是定義域A到值域C的對映，而它的反函式y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的對映，因此，函式y=f(x)的定義域正好是它的反函式y=f^(-1)(x)的值域;函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f^(-1)(x)的定義域(如下表)：

函式：y=f(x);

反函式：y=f^(-1)(x);

定義域： A C;

值域： C A;

⑷上述定義用“逆”對映概念可敘述為：

若確定函式y=f(x)的對映f是函式的定義域到值域“上”的“一一對映”，那麼由f的“逆”對映f^-1所確定的函式y=f^(-1)(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式y=f‘(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函式就可以寫為f^(-1)(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函式為：f^(-1)(x)=x/2-3.

有時是反函式需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大於0時的情況，x小於0的情況，多是要注意的。一般分數函式的反函式的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a